Ông Trump: Mỹ đang cạn kiệt đạn dược

Nội dung bài toán được phát biểu đơn giản như sau : cho trước một tập hợp gồm các số nguyên dương, hỏi từ tập hợp này có thể chọn ra các phần tử có tổng nghịch đảo bằng 1 được hay không?

Bài toán 3500 tuổi này có nguồn gốc từ thời Ai Cập cổ đại và trong một bài báo của mình, nhà toán học Thomas Bloom đã giải quyết trọn vẹn bài toán này. Một phiên bản của bài toán này cũng được hai nhà toán học Erdős và Graham đặt ra và trao thưởng 500 USD cho ai giải được nó.

Bài toán đó được đưa phát biểu như sau “Nếu tập A là tập con của tập N và A có mật độ dương, thì tồn tại một tập con hữu hạn S của A mà tổng nghịch đảo các phần tử của nó bằng 1”. (Một ví dụ về tập con của N có mật độ dương là A = {3,5,7,9,11,...}, có thể hiểu nôm na là khi ta lấy một lượng đủ lớn các số tự nhiên liên tiếp thì xác suất để tồn tại một số thuộc vào A là khác 0).

Andrew Granville, một nhà toán học đến từ Đại học Montreal, nói trong Tạp chí Quanta : “Tôi chỉ nghĩ đây là một câu hỏi bất khả thi mà không ai có thể giải được. Tôi không thấy bất kỳ công cụ rõ ràng nào có thể giải quyết nó". Tuy nhiên, Bloom tình cờ đã tìm ra đáp án nhờ vào một bài báo có từ 20 năm trước trong Biên niên sử Toán học năm 2003 mà tác giả của nó là nhà toán học Ernie Croot.

Những gì Croot đã giải được gọi là “phiên bản tô màu” của bài toán Erdős – Graham. Nó được gọi như vậy bởi vì nó liên quan đến các tập con “tô màu” - về cơ bản, có thể coi nó giống như việc phân chia tập A bằng cách bỏ các phần tử của A vào một số hữu hạn các hộp có màu khác nhau.

Nhà toán học Giorgis Petridis từ Đại học Georgia nói với Quanta: “Ý tưởng mả Croot đưa ra rất tuyệt vời. Tuy nhiên, nó đòi hỏi sự sáng tạo, khéo léo với các kỹ thuật tính toán cao” Petridis chia sẻ.

Ngoài ra, có một sự khác biệt rằng trong bài toán tô màu là, toàn bộ tập hợp A đã được chia thành các hộp. Bạn không biết chính xác nó được phân chia như thế nào, nhưng điều đó không thực sự quan trọng - tất cả những gì bạn cần chỉ ra là có một hộp chứa các con số đủ đẹp để tính tổng. Croot đã xây dựng bằng chứng để chỉ ra rằng sẽ có ít nhất một hộp có đủ những con số đẹp thỏa mãn định lý.

Nhưng phép chứng minh của Croot không giải được phiên bản trù mật của bài toán đã nói ở trên. Bloom đã vận dụng tốt những ý tưởng của Croot để giải quyết trọn vẹn bài toán. "Tôi nghĩ, phương pháp của Croot [thực sự] mạnh hơn so với tưởng tượng. Vì vậy, tôi đã dành ra vài tuần và tìm ra đáp án cho bài toán này" - Ông nói.

Bloom cho rằng Croot đã chứng minh được một trường hợp đặc biệt của bài toán này. Tất cả những gì Bloom phải làm là chỉ ra rằng kết quả sẽ giống nhau khi chứng minh các trường hợp còn lại và phiên bản trù mật của bài toán sẽ được giải quyết hoàn toàn.

Các phương pháp mà Bloom sử dụng thực sự là “một phiên bản nâng cấp” của những ý tưởng do Croot đề ra. Ý tưởng của Bloom là thay vì tìm ra các số có tổng nghịch đảo bằng 1 thì lại tìm ra các nhóm số có tổng nhỏ hơn, sau đó cộng lại bằng 1. “Ví dụ nếu ta tìm được ba nhóm mà tổng nghịch đảo các số của mỗi nhóm bằng ⅓ theo cách khác nhau, thì chỉ cần cộng chúng với nhau thì ta có kết quả là 1” - Bloom nói với tờ Quanta.

Với chứng minh của mình, Bloom đã giải quyết được một câu hỏi có nguồn gốc từ thời Ai Cập cổ đại. Tuy nhiên, không dừng ở đây, Bloom đặt ra một câu hỏi mới và tiếp tục đi tìm chứng minh: đối với tập A ⊂ N nào thì không thể tìm được tập con của A có tổng nghịch đảo các phần tử bằng 1?

Doãn Hùng (Theo IFL Science)

Tù nhân giải được bài toán cổ từng khiến nhà toán học 'đau đầu'

Một tù nhân tại Mỹ đã tự học toán cao cấp cơ bản. Nhờ đó, anh ta đã giải được một bài toán phức tạp. Không những thế, còn truyền niềm đam mê toán học của mình cho các bạn tù.

Bùi Ái Loan (hiện đang là sinh viên Trường ĐH Melbourne).

Bởi đã được học những kiến thức nền tảng về các môn học cơ bản từ những năm lớp 7 – 10, nên khi bước sang bậc phổ thông (lớp 11 – 12), học sinh chỉ cần theo học một môn bắt buộc là tiếng Anh; trong khi 5 môn còn lại sẽ do học sinh hoàn toàn được tự lựa chọn.

Tại ngôi trường phổ thông Ái Loan từng theo học sẽ cho học sinh lựa chọn trong khoảng 36 môn, trong đó có những môn học phổ biến như Lịch sử, Văn, Toán, Lý, Hóa, Sinh,... Bên cạnh đó, sẽ có những môn khác giúp phát huy năng khiếu, sở trường của học sinh như Quản trị kinh doanh, Luật, Chăm sóc sức khỏe, Thiết kế, Khoa học Máy tính, Kịch, Đàn, Bơi lội,…

“Nếu không thích môn Toán, học sinh cũng không nhất thiết phải chọn học Toán. Dù học sinh có lựa chọn môn gì, thì các môn học ấy cũng đều có giá trị tương đương nhau, không có môn nào được coi là môn chính, cũng không có môn nào là môn phụ. Và, một học sinh có thiên hướng nghệ thuật cũng sẽ được đánh giá ngang với một bạn có thiên hướng về kỹ thuật”.

Tuy nhiên, theo Loan, thông thường học sinh sẽ có xu hướng lựa chọn những môn liên quan đến nghề nghiệp trong tương lai. Ví dụ, một bạn muốn làm về gỗ sẽ lựa chọn môn Mộc để được làm quen với các loại máy móc. Trường cũng sẽ có những phòng học cách biệt để học sinh có thể thỏa sức làm các dự án mà không gây ra tiếng ồn, làm ảnh hưởng tới các lớp học xung quanh.

Từng mong muốn theo đuổi ngành Luật từ sớm nên năm lớp 11, Ái Loan đã lựa chọn theo học những môn liên quan đến ngành này, ví dụ như môn Nghiên cứu pháp lý.Mặc dù được giảng dạy ở trường phổ thông, nhưng môn học này cũng đã cung cấp cho nữ sinh những hiểu biết cơ bản về hệ thống luật của Úc, quá trình xử lý tội phạm, thụ lý hồ sơ hay được tiếp cận các vụ án nổi tiếng.

Nhờ đó, khi lên đại học, được tiếp cận với kiến thức sâu hơn về ngành, 9X cũng cảm thấy mọi thứ “dễ thở” hơn rất nhiều do đã có kiến thức nền tảng từ trước.

Tất nhiên, trong năm lớp 11, nếu học sinh cảm thấy không phù hợp, các em vẫn có cơ hội đổi môn học trước khi bước vào lớp 12.    

Ngoài ra, theo Loan, thầy cô tại Úc cũng khá sát sao trong việc định hướng nghề nghiệp cho học sinh. Cứ 6 tháng một lần, trường sẽ có những buổi tư vấn, trao đổi xem học sinh có mong muốn học ngành gì, thế mạnh của bản thân thuộc về lĩnh vực nào và có đang hạnh phúc với sự lựa chọn về môn học của mình hay không.

Điều này sẽ khiến học sinh không cảm thấy áp lực với việc học. Cũng nhờ việc định hướng nghề nghiệp từ sớm nên sẽ hạn chế tối đa việc chọn nhầm ngành ở bậc đại học.

Nguyễn Thảo Nhi (sinh viên Trường ĐH Công Nghệ Nanyang).

Trong khi đó, theo Nguyễn Thảo Nhi (sinh viên năm cuối tại Trường ĐH Công Nghệ Nanyang, từng đi du học Singapore từ cuối những năm cấp 2), tại Singapore, việc lựa chọn môn học có phần khác hơn.

Ở Singapore, học sinh ngay từ bậc Upper Secondary(tương đương với lớp 9, 10 ở Việt Nam) đã được quyền tự lựa chọn tổ hợp môn học tùy thuộc vào điểm số từ năm lớp 8.

Đến khi lên cấp 3 - Junior College(tương đương với lớp 11, 12 ở Việt Nam), học sinh vẫn sẽ được lựa chọn môn học trong giới hạn. Tổng cộng học sinh sẽ phải học 6 môn, bao gồm 2 môn bắt buộc là General Paper(môn học kết hợp giữa tiếng Anh và xã hội học) và Project Work(Làm việc nhóm). Với 4 môn còn lại, học sinh có thể chọn học về mảng Nghệ thuật hoặc Khoa học.

Theo Nhi, dù Singapore cho học sinh được tự lựa chọn, nhưng thực tế vẫn là lựa chọn trong khuôn khổ. Ví dụ, cho dù học sinh chọn học về mảng Khoa học thì vẫn bắt buộc phải chọn 3 môn tự nhiên và 1 môn xã hội (chẳng hạn Vật lý, Hóa học, Toán học và Kinh tế); hay nếu chọn học về Nghệ thuật, học sinh vẫn sẽ phải chọn 3 môn xã hội và 1 môn tự nhiên (chẳng hạn Địa lý, Lịch sử, Nghệ thuật và Toán học).

“Đối với Singapore thì đây là cách giúp tạo sự cân bằng cho học sinh và khiến các em không học quá thiên lệch về một mảng nội dung nào đó. Đồng thời, vẫn có một số môn học bắt buộc, nhưng những môn này đều mang lại những giá trị cả về kỹ năng cứng lẫn kỹ năng mềm cho học sinh”.

Ví dụ, với môn General Papersẽ giúp học sinh nâng cao trình độ đọc hiểu, viết lách, lập luận,… - những thứ đều có lợi cho tương lai khi lên đại học và đi làm; hay môn Project Workyêu cầu học sinh phải giải quyết vấn đề xã hội bằng những ý tưởng mới, buộc học sinh phải làm việc nhóm, viết luận, thuyết trình hay đọc các bài nghiên cứu, ...

Ngoài việc chọn môn, học sinh còn có thể chọn mức độ môn học phù hợp với bản thân. Trong đó, có 2 mức độ chủ yếu là căn bản (H1) và mở rộng (H2). Ngoài ra, với những học sinh đạt điểm xuất sắc vào cuối năm lớp 11 sẽ được chọn lên mức nâng cao (H3).

Tuy nhiên, theo Nhi, khi đăng ký vào đại học tại Singapore, mỗi ngành học cũng sẽ có yêu cầu về một số môn học nhất định. Ví dụ, đối với ngành Kỹ thuật sẽ yêu cầu sinh viên từng phải học về Vật lý trong thời cấp 3. Vậy nên, cũng có thể nói, những môn học ở bậc phổ thông sẽ phần nào quyết định về lựa chọn nghề nghiệp tương lai của học sinh.

Thúy Nga

Du học sinh Việt kể chuyện tự chọn môn học ở trường phổ thông Mỹ

Từng có thời gian học phổ thông tại Mỹ, Lương Nguyệt Hà (sinh năm 2003) cho rằng, việc được tự lựa chọn môn học theo năng khiếu, sở thích đã giúp học sinh tại đây dễ dàng định hướng ngành nghề mình muốn theo đuổi trong tương lai.